Un grupo es un grupo dotado de una operación asociativa, con elemento neutro, y donde todo elemento es simetritzable. Si la operación es conmutativa tiene por nombre grupo conmutativo o grupo abeliano. Fuera del campo científico, asimismo se tienen la posibilidad de localizar ejemplos en la vida diaria, en tanto que la ejecución sucesiva de 2 acciones tiene la posibilidad de tener un resultado diferente según el orden en que se ejecuten. La conmutatividad de la suma es consecuencia de la de la unión de conjuntos. La conmutatividad del producto es consecuencia de que un producto cartesiano de conjuntos tiene exactamente el mismo número de elementos independientemente de de qué forma se realice este producto. Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto Y también dotado de una adddició respecto a la que (Y también,+) es un conjunto conmutativo, y de una operación externa que permite multiplicar elementos de Y también para elementos de K .
En contraposición a la adición y la multiplicación de números, la sustracción y la división no son operaciones conmutativas. Entre las operaciones no conmutativas podemos destacar asimismo la composición de funciones, el producto de matrices y el producto vectorial. La conmutatividad de las operaciones elementales de agregar y multiplicar ahora era conocida implícitamente desde la antigüedad, si bien no fue llamada de este modo hasta principios del siglo XIX, época en que las matemáticas contemporáneas comenzaban a formalizarse. Las sucesivas ampliaciones del término de número (números naturales, números enteros, números racionales, números reales) ampliaron la llegada de las operaciones de sumar y multiplicar, pero en todas y cada una ellas se conserva la conmutatividad. Esta propiedad asimismo se satisface en muchas otras operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etcétera., o el producto de polinomios o de funcionalidades reales.
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Centro[editar]
En contraste con los cardinales, generalmente la suma y el producto de ordinales transfinitos no son conmutativas. Por ejemplo, si ω es el ordinal deN, 1 + ω ≠ ω + 1. Esta obra contiene una traducción total derivada de «Propietat commutativa» de Wikipedia en catalán, en concreto de esta versión, lanzada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported. El primer empleo popular del término «conmutativo» fue en un artículo de servos en francés, en 1814.
El grupo de los conmutadores de un conjunto G no es en la mayoría de los casos un subgrupo, pero genera un subgrupo habitual llamado subgrupo de los conmutadores o subgrupo derivado. El cociente G / D de G por su subgrupo derivado es un grupo conmutativo llamado grupo abelianitzat de G; es el mucho más grande de los cocientes conmutativos deG. Libro de Gregory donde usa la expresión «ley conmutativa».Producto de Boole donde utiliza la expresión «ley conmutativa». Rz , por lo que la operación es asociativa si toda traslación por la izquierda conmuta con toda traslación por la derecha.
Ejemplos Básicos: Adición Y Multiplicación De Números[editar]
El conmutador da una indicación de la medida en que una alguna operación binaria no logra ser conmutativa. Para poder definirlo, hay una cierta composición adicional, ya sea que la operación es la de un grupo, o que sea la multiplicación en un anillo o álgebra. Dado un grupo M con una operación interna, el centro de M es el subconjunto compuesto por los elementos que conmutan con todos los demás; en ocasiones se representa por Z. Asegurar que la operación es conmutativa significa que el centro de M es todo M. Definición de conmutatividad y ejemplos fáciles de operaciones conmutativas y no conmutativas.
Definido por el conmutador es alternado y satisface la identidad de Jacobi, de modo A es también una K-álgebra de Lie. El álgebra asociativa A es conmutativa si su álgebra de Lie socia asimismo lo es. Este no es conmutativo en el momento en que el conjunto tiene 3 o más elementos. Los primeros usos implícitos de la propiedad conmutativa se remontan a la antigüedad. Así, una operación es conmutativa cuando dos elementos cualesquiera conmutan.
Dado un cuerpo conmutativo K (o, mucho más normalmente, un anillo conmutativo), una K-álgebra es un grupo A dotado de una composición de K-espacio vectorial (K-módulo si K es un anillo) y de una segunda operación binaria, comúnmente representada con notación multiplicativa. En el momento en que esta operación es conmutativa lleva por nombre K-álgebra conmutativa. Por servirnos de un ejemplo, C y H son R-álgebras asociativas y unitarias; la primera es conmutativa y la segunda no. Otro ejemplo de suma importancia es el grupo de los polinomios en una variable con factores en K, K, que con las operaciones comunes de suma y producto de polinomios y de producto por escalares es una K-álgebra asociativa, conmutativa y unitaria.
Si en vez de un cuerpo se considera un anillo la composición final se llama módulo. La propiedad asociativa de una expresión que tiene dentro 2 o mucho más ocurrencias del mismo operador postula que el orden que se lleven a cabo las operaciones no afecta al resultado final, siempre y cuando el orden de los términos no cambie. Por contra, la propiedad conmutativa afirma que el orden de los términos no afecta al resultado final.